Установление истинности или ложности тезиса путем подтверждения или опровержения представляет собой одну из наиболее важных операций мышления, которая, как и всякая другая логическая операция, подчиняется определенным правилам. Ранее мы говорили о правилах различных видов умозаключений (дедукции, индукции, аналогии) и разнообразных логических операций с понятиями и суждениями. Теперь рассмотрим правила доказательства, которые традиционно делятся на три группы, соответствующие трем элементам в его структуре: тезису, аргументам и демонстрации.
Согласно одному из исходных правил, тезис должен нуждаться в доказательстве. Это правило, на первый взгляд, может показаться странным: разве существуют такие тезисы (высказывания, утверждения), которые не нуждаются в доказательстве? Конечно же, существуют. Как известно, любое рассуждение (и научное, и повседневное), в конечном итоге, базируется на аксиомах, которые и представляют собой тезисы, не требующие доказательств, заведомо принимаемые в качестве несомненных, достоверных, истинных. Обычно говорят, что аксиомы не подлежат обоснованию в силу их простоты, ясности, очевидности, безусловности и т. п. Однако, почему они таковы?
Известный французский философ и ученый XVII в. Рене Декарт называл аксиомы «врожденными идеями» и объяснял их необыкновенную ясность и отчетливость тем, что они заложены в сознание любого человека самим Богом, который «не может нас обманывать». Действительно, разве не безусловными и несомненными представляются нам утверждения: Кратчайшее расстояние между любыми двумя точками - это прямая; Всякое физическое тело имеет размер; Ничто в окружающем мире не происходит из ничего и другие, подобные им высказывания? Разумеется, они безоговорочно воспринимаются нами как истинные.
Помимо декартовой есть и другие точки зрения на происхождение аксиом. Часто их рассматривают как обобщенный и абстрагированный (т. е. выраженный в мышлении и представленный очень широкими, общими суждениями) опыт человечества. Нередко аксиомы расценивают как вырабатываемые людьми произвольные соглашения, без которых был бы в принципе невозможен процесс мышления. Проблема аксиом является достаточно сложной: до настоящего времени не найдено исчерпывающего и общепризнанного объяснения их природы.
Итак, аксиомы - это высказывания, не нуждающиеся в обосновании. Кстати, доказательство, в конечном итоге, потому и возможно, что существуют положения, которые не надо доказывать (как то ни парадоксально на первый взгляд). Вспомним, доказательство представляет собой выведение истинности или ложности какого-либо суждения - тезиса, - из ранее установленной истинности других суждений - аргументов, которые когда-то сами были тезисами и выводились из иных аргументов, а те, в свою очередь - из каких-то еще и т. д. Эта цепочка тезисов и аргументов, сколько бы она ни продолжалась, рано или поздно упирается в некую аксиому и на этом останавливается. В противном случае она развертывалась бы без конца, что приводило бы к невозможности любого доказательства. Эту особенность мышления заметили еще древние философы, которые называли рассуждение, лишенное аксиом, удалением в бесконечность (лат. regressus in infinitum).