Основные трудности в обучении математике. Обучение математике, как и другим учебным предметам, опирается на знания и представления, которые дети получают в дошкольный период своей жизни. Они взаимодействуют со сверстниками и взрослыми, постепенно приобретая сведения, которые становятся основой их дальнейшего школьного обучения. Процесс мышления развивается на базе накопленного опыта. Именно практические действия помогают проверить правильность или ошибочность знаний, которые потом становятся востребованными для развития мыслительной деятельности.
Существует большое количество причин, приводящих к устойчивым ошибкам при обучении математике в школе. Их можно разделить на две группы: специфические и неспецифические (общие). Такое разделение в более или менее выраженной степени присутствует у многих исследователей, занимающихся изучением трудностей в обучении математике.
К неспецифическим причинам возникновения затруднений в усвоении знаний по математике Н. П. Локалова относит:
- низкую работоспособность;
- слабую концентрацию произвольного внимания [Локалова, 2011].
Указанные причины приводят к пониженному темпу учебной деятельности на уроках математики у отдельных учеников. Особенно это заметно при выполнении примеров и задач, которые требуют интеллектуальных усилий.
Специфических причин исследователь выделяет гораздо больше. Например, у учащихся:
- не сформирован переход от практических действий с предметами к арифметическим действиям с числами;
- не закрепились понятия «больше - меньше»;
- недостаточно развиты пространственные представления;
- отсутствует умение делить число на удобные для вычисления части.
Эти причины влекут за собой затруднения в формировании навыков счета, а также недостатки усвоения счетных операций с переходом через десяток.
Зеркальное написание цифр, а также неумение соотнести их высоту с размером клеток в тетради могут быть обусловлены несколькими причинами:
- недостаточностью зрительного анализа и синтеза;
- невыработанностью прочной связи между зрительным и двигательным образами цифр;
- нарушением тонкой моторики рук;
- несформированностью зрительно-двигательной координации при выполнении письменных заданий;
- отсутствием четкого однонаправленного считывания примеров слева направо.
Частыми являются ошибки при записи состава чисел (сотни должны располагаться слева от десятков, а единицы - справа). Они возникают, когда:
- не отдифференцированы понятия «число» и «цифра»;
- не усвоен позиционный принцип построения многозначных чисел.
Характерной проблемой в процессе обучения математике является неправильное пользование количественным и порядковым счетом. Возникает она по разным причинам. Например:
- не отдифференцированы понятия «итог счета» и «процесс счета»;
- нет четкого понимания смысла счетного действия;
- не освоен операциональный состав счетного действия.
Ошибки при решении арифметических примеров становятся устойчивыми из-за частично усвоенного материала и плохо сформированных вычислительных навыков. По причине отсутствия прочных ассоциативных связей между различными способами обозначений количественных понятий у учащихся возникают затруднения при переводе из одной формы обозначения (буквенной) в другую - цифровую.
Частые и элементарные ошибки при выполнении действий сложения и вычитания, умножения и деления появляются по причине:
- незнания состава числа;
- непонимания взаимосвязи между операциями сложения и вычитания;
- затруднений в соотнесении действий умножения и деления.
Недостаточное развитие смысловой памяти вызывает трудности в назывании необходимых компонентов для выполнения арифметических действий. Учителям также известна проблема переноса уже имеющихся знаний на решение новых математических задач. Это говорит о недостаточном развитии уровня обобщений, и проявляется, например, в том, что ученик хорошо научился считать предметы, но допускает ошибки в примерах на вычисление протяженности движения. По этой же причине особое внимание учитель вынужден обращать на недостатки учащихся в формулировании правил на основе анализа конкретных примеров. Отсутствие необходимой степени обобщения и сокращения математической информации приводит к трудностям усвоения схемы рассуждений при решении типовых задач.
Некоторые ученики испытывают затруднения при счете в обратном порядке, определении места числа в натуральном ряду, определении четных и нечетных чисел. В данном случае имеет место несформированность понятия числового ряда.
Мешают учащимся быстро и правильно совершать умственные действия с разными количественными величинами:
- недостаточность мыслительных операций анализа и синтеза;
- недостатки оперативной памяти.
Трудности в обозначении числом множеств встречаются редко. Они появляются при неусвоенном соотношении между понятием «много» и его числовым выражением.
Нередко успешность обучения математике зависит от мышления. Недостаточность мыслительной операции абстрагирования может вызывать трудности перехода из конкретного плана действий в абстрактный, что востребовано при решении любых примеров и задач.
Недостаток гибкости мышления и неумение пользоваться мыслительными операциями на различном математическом материале приводят к неспособности решать задачи несколькими способами, составлять варианты выполненных решений.
Неумение вычленять внутреннюю логическую структуру из разнообразного внешнего оформления задачи обусловлено:
- неразвитой способностью к многоаспектному анализу объекта;
- отсутствием «глубины» мышления.
Недостаточность мыслительных операций анализа и синтеза также приводит к непониманию сущности условия задачи. Данная проблема сочетается с недостатками мнестической деятельности (в оперативной памяти не происходит сохранения всех условий задачи) и произвольного внимания (не хватает волевого усилия, чтобы до конца довести решение несложной задачи). Начинают возникать «глупые» ошибки.
Нерациональное решение примеров и задач наблюдается у школьников в результате:
- неумения выделять существенное в записи примеров и тексте задач;
- трудностей в установлении математических (логических) закономерностей.
Обстоятельная классификация видов трудностей при обучении математике младших школьников с учетом причин их возникновения также была разработана М. М. Безруких. В ней четко выделены специфические и неспецифические причины возникновения трудностей в обучении математике. К неспецифическим причинам относятся:
- недостатки методики обучения;
- недостаточная сформированность методики обучения;
- форсирование темпа обучения.
Указанные причины в совокупности со специфическими могут вызывать совершенно любые трудности в усвоении математики у школьника. Например, к сильному тремору и неустойчивому почерку может привести:
- неправильное положение ручки;
- сильное утомление;
- функциональное напряжение.
Фрагментарное восприятие задания (задачи) и трудность переключения с одной операции на другую в процессе деятельности могут возникать:
- из-за функциональной слабости центральной нервной системы, повышенной утомляемости;
- из-за индивидуальных особенностей деятельности;
- из-за механического чтения.
К группе специфических причин неуспеваемости по математике М. М. Безруких причисляет недостаточную сформированность:
- зрительно-моторных координаций;
- зрительного восприятия;
- зрительно-пространственного восприятия;
- зрительной памяти.
Указанные причины приводят к слабой способности выделять и расчленять геометрические фигуры и трудности правильного копирования их с сохранением размерности пропорций; а также к трудности формирования правильной траектории движений при написании цифр, изменению конфигурации, соотношения элементов. Еще одним следствием этого является зеркальное написание цифр «3-», «6-», плохое различение цифр, близких по конфигурации: «6» - «9», «9» - «2»; перестановка цифр: «36» - «63».
К замене цифр при усвоении их в учебном процессе ведет недостаточная сформиро-ванность слухового восприятия. Неточность координации движений приводит к неровности штрихов у учащихся, сильному нажиму при письме и неустойчивому почерку. Школьникам свойственны неровные, растянутые цифры, нарушения конфигурации, соотношений штрихов, размеров цифр. Также к специфическим причинам затруднений в обучении относятся недостаточная сформированность:
- вербально-логического мышления;
- речевого развития.
Указанные проблемы влекут за собой недостатки переключения с одной операции на другую в процессе познавательной деятельности, обуславливают трудности формирования математических понятий, усвоения законов и правил. При этом возникает сложность переноса вербальной конструкции в конкретное умственное действие.
Специфические причины, приводящие к появлению трудностей в усвоении математики, выделяет Е. М. Мастюкова [Мастюкова, 1992]. Среди них:
- недостаточность семантической стороны речи;
- своеобразие нарушения слуховой памяти;
- недоразвитие внутренней речи.
Она предлагает свои объяснения феномена школьной неуспеваемости. Ученики могут не понимать смысла основного условия задачи. Самостоятельно им не удается составить план ее последовательного решения. Детям постоянно требуется, чтобы учитель делил на части все содержание текста задачи и обсуждал с ними отдельно каждую из выделенных логических частей ее условия.
Весь процесс решения в большинстве случаев должен сопровождаться постоянным включением внешней артикуляции школьников и даже дополнительных моторных действий. Например, ребенок шепчет про себя условие и ход решения задачи, иногда кивает головой, взмахивает рукой, помогает себе графически изобразить последовательность выполнения математических действий.
А. В. Белошистая выделяет только две общие (неспецифические) для всех детей причины трудностей в обучении математике:
- степень выносливости, работоспособности;
- подвижность-инертность (скорость смены и скорость протекания процессов возбуждения и торможения).
В силу замедленности или рассеянности восприятия дети со слабой и инертной центральной нервной системой не всегда успевают понять и усвоить материал в условиях быстрой смены заданий.
Среди специфических причин автор отмечает:
- недостатки устойчивости и концентрации внимания;
- плохую механическую память;
- не всегда адекватное восприятие;
- слабую сформированность логических приемов умственных действий;
- замедленный тип мыслительной деятельности.
Особой причиной трудностей в усвоении математики А. В. Белошистая считает заниженную самооценку. Характерной чертой слабоуспевающих в математике школьников является негативная оценка своих возможностей, которая изначально настраивает ребенка на ожидание поражения [Белошистая, 2001].
Таким образом, очевидно многообразие причин, лежащих в основе появления трудностей в обучении математике. Это общие причины, влекущие за собой школьную неуспеваемость в целом, и специфические предпосылки возникновения затруднений в усвоении именно математических знаний.
С конца 1970-х гг. в нашей стране ведутся исследования особенностей формирования математических навыков у детей с задержкой психического развития. Педагоги отмечают, что дети приходят в школу с небольшим запасом знаний и представлений об окружающей действительности, что мешает усвоению школьной программы. Особенно заметным является недостаток элементарных математических умений. По данным Г. М. Капустиной, подавляющее большинство шестилетних детей с задержкой психического развития правильно называют числа по порядку от одного до десяти. Из них только некоторые дети могут считать до двадцати. При определении количества конкретных предметов они не отличают процесс счета от его итога. Практика показывает, что на просьбу учителя назвать общее число предметов ребенок может произнести название того из них, на котором он в данный момент остановился. Подобные факты, по мнению Г. М. Капустиной, свидетельствуют о существенных затруднениях в овладении способностью результативного счета, то есть умением отнести последнее из называемых числительных ко всей совокупности выборки в целом, а не только к ее последнему элементу.
Дети с задержкой психического развития часто не способны назвать числа в обратном порядке. Некоторые из них даже не понимают такого задания. Наибольшие трудности вызывает счет от одного заданного числа до другого в прямом и обратном порядке. Например, учитель дает ученику инструкцию: «Считай от трех до тех пор, пока не настанет восемь». Без специального обучения дети с задержкой психического развития не овладевают этим умением.
На этапе подготовки к школе шестилетние дети с задержкой психического развития механически усваивают последовательность чисел в натуральном ряду, не могут свободно и осознанно в нем ориентироваться. Неслучайно для них представляет сложность обратный счет. Они не могут перечислять числа по порядку, начиная с любого из них в натуральном ряду. Ученики сбиваются, допускают ошибки, пока не начнут снова с единицы.
Шестилетние дети с задержкой психического развития справляются со счетом однородных предметов в пределах пяти: не пропускают их, не считают дважды, правильно соблюдают последовательность числительных. При предъявлении группы предметов количеством больше пяти часто сбиваются со счета, забывают уже названное числительное, допускают ошибки, начинают пересчет заново.
У школьников с задержкой психического развития замедленно формируются навыки счета. Они передвигают предметы, манипулируют ими, произносят вслух числительные. Успешно обучающиеся сверстники уже умеют «считать глазами». Для них элементарные математические навыки стали интериоризированным умственным действием.
У значительной части детей с задержкой психического развития вызывают затруднения задания на порядковый счет. Возникают характерные ошибки: пропуски числительных, переход на количественный счет. При сравнении множества предметов они правильно указывают большую и меньшую группы, не прибегая к пересчету предметов. Трудности возникают при сравнении близких по количеству объектов. Например, пять или шесть птиц на ветке дерева. При предъявлении равночисленных множеств предметов, как правило, дети отвечают: «Здесь столько же, сколько там», «Тут все одинаково», «Везде равно». Однако встречаются ученики, которые долго пытаются найти несуществующую разницу в количестве предметов, сравнивая их в обеих группах.
Дети с задержкой психического развития церебрально-органического генеза к началу школьного обучения без затруднений ориентируются лишь в пределах пяти. Только некоторым из них доступен отвлеченный счет. В большинстве случаев они считают лишь с опорой на наглядный материал.
Ученики с задержкой психического развития выделяют и показывают предметы с заданными признаками размера: большой и маленький, высокий и низкий, длинный и короткий, толстый и тонкий, широкий и узкий. Самостоятельное употребление этих слов-терминов у многих из них отсутствует. Первоклассники с задержкой психического развития хуже нормально развивающихся сверстников ориентируются на листе бумаги: не могут сразу показать верх, низ, найти левую и правую стороны тетради. Они часто сомневаются, действуют робко, неуверенно.
Существенные проблемы возникают у учащихся с задержкой психического развития при решении арифметических задач. Подавляющее большинство из них могут образно представить себе ситуацию из задачи и математически выразить имеющиеся в ней предметно-количественные отношения, разобраться в зависимости величин, которые составляют содержание задачи. В коррекционной педагогике сложилось мнение, что по умению решать самые простые задачи на нахождение суммы шестилетние дети с задержкой психического развития соответствуют своим нормально развивающимся сверстникам (Г. М. Капустина). Сложнее им удается справиться с задачами на нахождение остатка. Изучение уровня знаний детей по математике показало, что элементарные знания по этому предмету учащиеся с задержкой психического развития приобретают медленно. Потребуется определенный период подготовительных практических упражнений, в процессе которого учащиеся не только восполнят отставание в своем развитии, но и приобретут известную готовность к усвоению последующих разделов школьной программы.
Учащиеся с задержкой психического развития впервые знакомятся с арифметическими задачами в подготовительном классе, при изучении чисел первого десятка. Это задачи на нахождение суммы и остатка, на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. При выполнении простых арифметических действий на сложение и вычитание закладывается основа всего дальнейшего логического осмысления условий задач. Подготовить к этому детей можно с помощью практических действий с реальными предметами: объединять и разъединять различные множества, сравнивать и уравнивать их. При этом учащиеся должны активно пользоваться речью, комментируя свои практические действия: взять еще, добавить, сложить вместе, разложить. Одновременно с этим дети знакомятся с понятиями «поровну», «больше», «меньше», «несколько», «столько же», «каждый», «все». Простые счетные действия подготавливают учеников к освоению условий арифметических задач, учат видеть изменения количества.
Установлен интересный факт, что слова, обозначающие поступки людей (принесли, отдали, положили), с трудом преобразуются детьми с задержкой психического развития в математические действия (М. В. Ипполитова, З. И. Калмыкова). Данный этап формирования практических обобщений, переход на абстрактный уровень мышления очень важен, но может потребовать от этих детей длительных усилий.
Трудности при решении арифметических задач на ранних этапах обучения объясняются своеобразием познавательной деятельности детей с задержкой психического развития. У них недостаточной является сформированное^ основных мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения. Учащиеся, едва прочитав задачу, сразу же начинают ее решать, производят поспешные и необдуманные манипуляции с числами, часто «выхватывают» из текста отдельные слова-ориентиры и, опираясь на них, находят неверное арифметическое решение. Так, при наличии в задаче слов «меньше» или «осталось» учащиеся решают ее вычитанием, не обдумывая содержание в целом. Объяснить эту особенность можно попытками заменить комплексный анализ условия задачи более элементарным, которым они уже овладели при решении примеров. Данный способ анализа у детей с задержкой психического развития сохраняется на протяжении довольно длительного времени.
Решение арифметических задач является сложной аналитико-синтетической деятельностью. Учащемуся нужно наглядно представить описанные в задаче жизненные ситуации и одновременно с этим - отвлечься, абстрагироваться от деталей условия и перевести их в логический и арифметический план. Затруднения в усвоении материала по математике у большинства школьников возникают в результате недостаточного развития абстрактно-логической формы мышления (В. И. Зыкова). Уровень развития мышления еще недостаточен для правильного восприятия и понимания символических математических моделей предметов и явлений. Недостаток формирования этой формы мышления отчетливо проявляется в учебных заданиях, требующих обобщения.
Формулировка общих признаков и закономерностей у предметов и явлений также невозможна без развитой абстрактно-логической формы мышления. Ученикам не удается самостоятельно выделять существенные связи между частями условия задачи, находить основную мысль и определять правильное решение. Вместо этого дети с задержкой психического развития обращают больше внимания на несуществующие детали, хаотично выбирают арифметические действия для получения результата.
На ранних этапах обучения известную трудность представляют задачи на разностное сравнение. Дети с задержкой психического развития обычно решают их сложением, опираясь на значение слова «больше». Учителю требуется помочь им в выполнении разностороннего анализа, чтобы учесть все нюансы условия задачи.
Большие затруднения вызывают у детей задачи с косвенной формулировкой условия. В косвенной форме от учеников требуется увеличить или уменьшить число на несколько единиц, а также определить, найти неизвестные компоненты арифметического действия. Их решение подразумевает дополнительные рассуждения, необходимость представления описанных в задаче событий как бы в обратном порядке.
Учащиеся часто переводят косвенное условие задачи в прямое и решают ее более простым и привычным для себя способом.
Практика обучения школьников с задержкой психического развития показывает, что они с большим трудом овладевают составлением краткой записи условия задачи и не опираются на нее при выполнении арифметических действий для получения правильного ответа. Они не вдумываются в ее содержание, не стремятся сразу вникнуть в зависимость между указанными величинами. Не случайно одной из целей становится постепенное освоение детьми с задержкой психического развития краткой записи условия задачи. Сначала в тексте следует выделить отдельные смысловые части, подчеркнуть наиболее важные слова и числа, несущие основную смысловую нагрузку при поиске решения. После этого ребенку нужно сделать самостоятельную запись в тетради.
Учителю необходимо пользоваться развернутыми объяснениями, чтобы ученики с задержкой психического развития точнее поняли содержание задачи. Важно усвоить, что в каждой из них есть известное и неизвестное. Решить задачу - означает ответить на поставленный в ней вопрос. Дети часто неправильно воспроизводят ее условие, искажают слова, опускают числовые данные. Ученики нередко стремятся скорее произвести действия с числами, а предметное содержание задачи при этом утрачивается. Дети с задержкой психического развития должны четко представлять описанную ситуацию и меньше отклоняться от непосредственного хода решения. Они не могут самостоятельно сформулировать ответ задачи, не умеют опираться при этом на ее вопрос. Необходимо длительное и систематическое обучение. Начинать его надо как можно раньше, когда дети решают только первые задачи.
Распространенной ошибкой при самостоятельном решении задач детьми с задержкой психического развития является стереотипность мышления. Учителя сами стремятся решать вместе с детьми большое количество задач, одинаковых по своей структуре. Они считаются шаблонными, так как отличаются лишь числовыми данными и предметами, с которыми надо произвести арифметические действия. Ученики перестают вдумываться в содержание каждой задачи, начинают ориентироваться только на внешние признаки.
Большинство специалистов считают, что в условиях коррекционного обучения у детей с задержкой психического развития можно устранить пробелы в усвоении начальных математических знаний и представлений. Они обладают большими потенциальными возможностями, хорошо используют помощь учителя на уроках. Изучение математики должно предусматривать разнообразные виды деятельности самих учащихся. Предпочтение следует отдавать предметно-практическим действиям. Они составляют основу математических понятий.
Математика дает множество возможностей для формирования творческих способностей школьников. Задания, предлагаемые ученикам, способны развивать их умственный потенциал. Большое внимание уделяется индивидуальному подходу к детям с учетом особенностей психического развития каждого из них.
Психолого-педагогическая помощь при затруднениях в изучении математики. Творческая деятельность ребенка постоянно порождает все более новые, высшие формы мышления. Источник изучения математики лежит в прогрессивном развитии интеллекта. Математика иногда может казаться игрой в догадки. Нужно суметь объяснить ученику, что он может подойти к процессу изучения данного учебного предмета творчески. Обучение должно подготавливать к изобретению, или по крайней мере давать некоторое представление об изобретении. Процесс преподавания не должен подавлять в учащемся мотивы изобретательности. Нет никакого абсолютно верного метода для догадок, и потому не может быть никакого абсолютно верного метода для обучения тому, как догадываться. Главное, преподаватель должен показать, что догадки в области математики могут быть разумными и серьезными.
Всесторонне подходя к исследованию проблем обучения математике, можно обнаружить недостатки общепринятой системы обучения. Многие недочеты в обучении математике являются следствием несовершенства методов преподавания. Действительно, иногда происходит так, что вроде бы и способности у ученика есть, и стремление учиться, а предмет не дается.
Наиболее распространенные методы и приемы обучения не всегда соответствуют познавательным возможностям учеников, которые оказываются в действительности значительно выше, чем это принято считать.
Методика помогает формировать математические понятия и устанавливать связи между ними, определяет наилучшие способы передачи знаний, их закрепления и последующего применения.
Проблема усвоения математических знаний в процессе школьного обучения привела психологов и педагогов к необходимости разработки методологических основ преподавания математики в школе. П. М. Эрдниев и Б. П. Эрдниев предложили взаимосвязанные конкретные подходы к обучению математике, к которым отнесли следующие:
- совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т. п.;
- обеспечение единства процессов составления и решения задач;
- рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);
- обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
- выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
- реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами) [Эрдниев, Эрдниев, 1996].
На этих принципах основывается вся система построения методики преподавания математики в школе.
Психологическая возможность усвоения знаний по математике заключается в том, чтобы понимать, что «в ткани развивающихся системных знаний предыдущие и последующие во времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей информации. Это может быть общий графический образ, общность символов для группы формул, наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств» [Эрдниев, Эрдниев, 1996].
Полученные знания должны закрепляться в результате индивидуальной творческой деятельности ученика с учебным материалом. Важно сохранять самостоятельность интеллектуальных действий. Исходя из этого положения, обучение в школе вполне можно и нужно строить так, чтобы оно представлялось для учащегося серией маленьких открытий. Значительную роль самостоятельности мышления и его творческой стороне отводили в своей теории развивающего обучения В. В. Давыдов и Д. Б. Эльконин. Основным принципом их системы развивающего обучения является организация учебной деятельности учащихся в форме поисково-исследовательской работы.
Важнейшим принципом успешного преподавания математики является включение в математические учебники упражнений, требующих применения анализа и синтеза одновременно. Учитель математики в процессе обучения старается использовать адекватную и понятную систему обозначений. Нередко понимание математики наступает с восприятием удачной формы записи или иллюстрации. Вероятно, успешность обучения в целом, прочность запоминания материала и сознательность усвоения зависит от информационного оформления мысли.
В идеале математические иллюстрации или записи на доске (рисунки, символы) должны быть осмысливаемой цветной картиной. Исключительную важность при оформлении учебников приобретает единство символики и терминологии.
Исторически символы возникли в иероглифической письменности как упрощенные изображения соответствующих предметов или условных знаков, их заменяющих. Так, знак отрицания в математической логике (черточка, минус) возник как идеограмма, обозначающая жест отрицания («развернутые руки»). Чем непосредственнее, автоматичнее переход от зрительного образа (символа) к слову, понятию, тем экономнее само мышление. Некоторые неудачные символы могут способствовать формированию неправильных связей в мышлении. Например, такими неудачными символами стали символы международной научной терминологии, основанные на латинских корнях, такие как R - множество действительных чисел, F -функция.
Поначалу лучше использовать заглавные русские буквы. Важно, чтобы у учащихся четко сформировалось соответствие между определенным символом и понятием, которое он обозначает.
Одним из ведущих в математическом образовании детей с задержкой психического развития является наглядно-практический метод моделирования, представляющий собой конструирование модели и использование ее для формирования представлений о свойствах объектов. Детям с задержкой психического развития необходимо предлагать: предметные, предметно-схематические и графические модели. Действия замещения и моделирования становятся основой формирования познавательных способностей. Работа строится с постепенным усложнением когнитивной деятельности детей: от максимальной развернутости практических действий, опоры на образец, показ и конкретные указания педагога - к умению опираться на наглядную модель и словесную инструкцию. При этом совершенствуется и словесная регуляция действий - от сопровождения действий речью к умению давать словесный отчет, а затем к планированию предстоящей работы.
Проблема сочетания символа и понятия в методике преподавания математики приводит к соотношению образного и словесного, которое следует из асимметричности полушарий мозга (правое полушарие - средоточие образов, эмоций, визуального мышления, а левое -речи, логики, счета, второй сигнальной системы, будущего времени, прогноза). Многие исследователи пришли к заключению о необходимости «геометризации» математического материала. «Логическое доказательство, состоящее из последовательно написанных или произнесенных слов, одномерно, линейно, а рисунок (схема, чертеж, график) разгружает аппарат логики...» [Эрдниев, Эрдниев, 1996]. Таким образом, урок математики для лучшего усвоения может оставаться в тетради в виде рисунка.
Наряду со схематизацией, проявлением принципа дополнительности в учебно-познавательном процессе считается диалогический путь познания. Диалог является одним из самых главных способов познания не только в школе, но и вообще в жизни.
Способы, методы и приемы, с помощью которых преподаватель пытается построить систему знаний, отражающую основные связи и отношения науки математики, основаны на его личном творческом потенциале. Это подтверждается тем, что каждый педагог преподает по-своему. Во многом ведущим системообразующим фактором для получения детьми знаний выступает технология обучения, применяемая конкретным педагогом. Однако «нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков» (Дж. Займан). Непросто обучать детей так, чтобы доступная дидактическая строгость сочеталась с интересным восприятием материала.
Мышлению необходима постоянная деятельность. Она может успешно осуществляться за счет правильно выбранной тактики повторения усвоенного материала. К. Д. Ушинский отмечал необходимость такой организации повторения, чтобы оно содействовало установлению связей ранее изученного с новым материалом. В настоящее время школьные программы выделяют достаточно большое количество учебного времени специально на повторение. Повторение должно быть не точным воспроизведением ранее полученных знаний. Оно должно носить активный характер, включать преобразование, изменение, обобщение ранее уже изученного.
Многие рассмотренные проблемы обучения находятся на грани между математикой и психологией, логикой и педагогикой. Психологи различают несколько последовательных уровней освоения математических знаний: уровень знакомств; применения знаний по образцу; творческого применения знаний.
Учащимся с задержкой психического развития следует оказывать коррекционно-развивающую помощь на самых ранних этапах формирования математических представлений. Специфика работы с ними подразумевает, что одновременно с усвоением основной программы по предмету потребуется развитие речи, восполнение недостатка знаний об окружающей действительности, форм и операций мыслительной деятельности, которые успешно реализуются при наличии высоких языковых способностей.