Простые проценты с примерами

При анализе финансовых операций очень важно учитывать фактор изменения стоимости денег во времени. Наращенной суммой (долга, депозита, других видов инвестированных денег) называют первоначальную величину капитала с начисленными на нее процентами к концу срока начисления. Процентами называется абсолютная величина дохода от предоставления капитала в долг в любой ее форме (выдача ссуды, покупка облигаций, учет векселя, продажа товаров в кредит и т. д.). Величина полученного дохода определяется величиной вкладываемого капитала Р, сроком п, на который вкладывается капитал, размером и видом применяемой процентной ставки, условиями наращения.

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления (их величина определяется исходя из предоставляемого капитала Р, а процентная ставка представляет собой отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала). При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала (при этом сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы, а процентная ставка, называемая учетной, представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной).

При обоих способах начисления проценты могут быть либо простыми, либо сложными.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов имеет следующий вид:
S = P + I,    (1.1)
где I — проценты за весь срок ссуды; Р — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока.

Если срок ссуды n измеряется в годах, то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме Pi.

Начисленные за весь срок проценты составят I = Pni. Наращенная сумма, таким образом, находится как
S = P + I = P + Pni = P(l + ni).

Данное выражение называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а множитель (1 + ni) —множителем наращения простых процентов.

График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1.


Пример 1.1
Определить проценты и сумму накопления долга, если размер ссуды, выданной на 4 года, составляет 700 тыс. руб., проценты простые по ставке 20% годовых (i = 0,2):

I = 700 • 4 • 0,2 = 560 тыс. руб.

S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб.

Пусть ставка увеличивается в 2 раза. Сумма процентов при этом удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в 


Срок ссуды не всегда равен целому числу лет. Чтобы перейти от промежутка, измеряемого в днях, к промежутку, измеряемому в годах, вводят годовой дивизор Y (число дней в году, или временная база, начисления процентов, обычно 360, 365, 366), тогда срок п будет иметь вид: n=t/Y, где t — число дней ссуды.

При расчете процентов применяют две временные базы: Y = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или Y = 365 (366) дней. Если Y = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года 365 (366) дней рассчитывают точные проценты.

Чтобы определить точное число дней ссуды t, используют таблицы (П.1 и П.2), в которых указаны порядковые номера даты в стандартном году. Число дней между датами определяется как разность между номерами этих дат.

Пример 1.2
Определить точное число дней между двумя датами: 14.02.1998 и 27.08.1998. Год невисокосный, поэтому дата 14.02.1998 имеет номер 45, а у 27.08.1998 порядковый номер 239. Следовательно, между датами содержится ровно 239 - 45 = 194 дня.

Если рассмотреть даты 14.02.1996 и 27.08.1996 високосного года, то получим число дней между ними, равное 240 - 45 = 195.

Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближенное число дней рассчитывается следующим образом:


где g — номер года; m — номер месяца в году; d — номер дня в месяце.

Пример 1.3
Определить приближенное число дней между 12.02.1996 и 27.08.1998. t = 360 • (1998 - 1996) + 30 • (8 - 2) + (27 - 12) = 720 + 180 + 15 = 915.

Между датами содержится приближенно 915 дней.

Чаще всего на практике применяются три варианта расчета простых процентов:

  •     точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365 / 365 или АТС / АТС;
  •     обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, в Бельгии, Швейцарии. Он обозначается как 365 / 360 или АТС / 360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов;
  •     обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360 / 360.

Пример 1.4
Ссуда в размере 1 млн руб. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчета срока ссуды.

Предварительно (используя таблицы) определим число дней ссуды: точное — 258, приближенное — 255.
1.    Точные проценты с точным числом дней ссуды (365 / 365):


2.    Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360 / 365):


3.    Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):


Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т. д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:


где и п2 — части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:


Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т. п.).

В этом случае


В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании формулы (1.6). Для этого измеряют интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях, как выше). После чего получают


Пример 1.5
Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 5 февраля поступило 12 млн руб., 10 июля снято 4 млн руб. и 20 октября поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Процентный делитель составит 365 / 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в табл. 1.1.


На практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращении по простым процентам в пределах заданного общего срока. Физически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставки. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае


Пример 1.6
100 млн руб. размещены 1 января на месячном депозите под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Если начислять точные проценты (365 / 365), то


В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т. е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной (present value), будущего платежа S, а иногда — текущей, или капитализированной, стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения удобно учитывать такой фактор, как время.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i. Выражая Р из формулы (1.2), получаем


Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + in) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Пример 1.7
Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?


Разность (S - Р) можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т. е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерческий учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно, равен D = Snd, таким образом,


Дисконтный множитель здесь равен 1 - nd. Из полученной формулы следует, что при п > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может принести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе Y = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, ACT / 360.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае равна


Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. При п > 1/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

Пример 1.8
Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (ACT / 360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна


Изменим условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов i = 20,5% годовых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной формуле, где п — общий срок обязательства, п' — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120 / 360, тогда


Дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако размер ставки неявно всегда имеется в виду.

Оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач, только для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной — дисконтирование, а для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная — в наращении (табл. 1.2).


Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дисконтирования — по ставке наращения i и учетной ставке d — приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d. Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки.

Для иллюстрации сказанного на рис. 1.2 и в табл. 1.3 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда i = d = 20%.


Сравнивая формулы S = Р( 1 + пТ) и S = Р / (1 - rid), легко понять, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i = d = 2, показаны в табл. 1.4 и на рис. 1.3.



Итак, выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными.

Ломбардный кредит

Особенности ломбардного кредита:

  •     заемщик обеспечивает получаемый кредит ценными бумагами или материальными ценностями;
  •     размер кредита обычно составляет 70 или 80% номинала залога;
  •     срок ломбардного кредита не более 3 месяцев;
  •    АТС = 360 — при расчетах используется французская практика;
  •     долг можно погасить полностью вовремя, а можно продлить еще на 3 месяца; можно часть долга погасить вовремя, а остаток погасить в следующие 3 месяца;
  •     если кредит не погашен вовремя, заемщик расплачивается с кредитором по увеличенной ставке за все время.

Пример 1.9

18 апреля предприниматель обратился в ломбард за кредитом под залог ценностей 100 тыс. руб. Размер кредита — 80% от номинальной стоимости ценностей (простая процентная ставка 12% годовых). Кредит был выдан до 18 июля. Какую сумму предприниматель получит на руки?

Решение: С 18 апреля по 18 июля — 91 день (t = 91). Годовой дивизор составит 360 (7 = 360). Размер кредита — 100 000 • 0,8 = 80 000 руб. Тогда на руки предприниматель получит


Если современная стоимость Р в задаче не оговаривается, а дана только увеличенная или уменьшенная на процент величина, то пользуются формулами:


Пример 1.10
Заемщику был предложен кредит 80 тыс. руб. (под 12% годовых) 18 июля по 18 октября. 18 июля заемщик перечислил 25 тыс. руб., которые распределялись на выплату основного долга и проценты. Найти остаток долга.

Решение: 18 июля — 25 тыс. руб. (частично на проценты и частично на основной долг).

Остаток долга на 18 июля составит 80 тыс. руб. - 25 тыс. руб. = 55 тыс. руб., следовательно, платеж находят по схеме «меньше 100».


Темы: Проценты, Кредит
Источник: Финансовая математика : учебник и практикум для СПО / Н. А. Шиловская. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 176 с. — (Серия : Профессиональное образование).
Материалы по теме
Суд по неуплате кредита
...
Государственный кредит и его сущность
Эриашвили Н. Д., Финансовое право
Необходимость и роль кредита в экономике
Деньги, кредит, банки: учебник и практикум для академического бакалавриата / под ред. В. Ю....
Государственный кредит
Киселев М.В., Михайлова Н.А., Шпаргалка по финансам
Международный долгосрочный кредит
Общая теория денег и кредита
Консорциальные кредиты
Коробова Г.Г. (ред.) - Банковское дело. Учебник 2006; Афанасьева Л.П., Богатырев В.И.,...
Понятие государственного кредита
Н.В. МИЛЯКОВ. ФИНАНСЫ
5 способов получить ипотеку с плохой кредитной историей
...
Оставить комментарий